Треугольники общего вида

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

• Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
• В равностороннем треугольнике любая медиана — это высота и биссектриса.
• Примеры решения проблем
• ПРИМЕР 1

Задача

В равнобедренном треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( A B=5 mathrm{см} ) медиана была ( B L=4 mathrm{см} ). Найдите область треугольника ( mathrm{ABC} ).

Решение.

1. Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем ( S_{Delta A B L}=S_{Delta B C L} ) , откуда
2. ( S_{Delta A B C}=2 S_{Delta A B L} )
3. Найдите область треугольника ( A B L ). Поскольку треугольник ( mathrm{ABC} ) является равнобедренным, медиана ( mathrm{BL} ) является высотой, то есть ( mathrm{ABL} ) треугольником — прямоугольной и ее площадью
4. ( S_{A B L}=frac{1}{2} A L cdot B L )
5. С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги ( mathrm{AL} ):
6. ( A L=sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=sqrt{25-16}=3 mathrm{cm} )
7. Замените полученные результаты в области формулы:
8. ( S_{A B L}=frac{1}{2} 3 cdot 4=6 mathrm{cm}^{2} )
9. Теперь мы находим область треугольника ( mathrm{ABC} ):
10. ( S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 cdot 6=12 mathrm{cm}^{2} )

Ответ

• ( S_{A B C}=12 )
• ПРИМЕР 2

Задача

В треугольнике ( riangle B C ) со сторонами ( AB=4 mathrm{см} ), ( AC=6 mathrm{cm} ) и углом ( angle A=60^{circ} ) , мы выполнили медианны ( AK ) и ( BL ), которые пересекаются в точке ( O ). Найдите ( BO ).

Решение.

1. Так как ( BL ) — медиана треугольника,
2. ( A L=L C=frac{1}{2} A C=3 mathrm{cm} )
3. Рассмотрим треугольник ( ABL ). По теореме о косинуале находим
4. ( B L=sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B cdot A L cos angle A}=sqrt{16+9-2 cdot 4 cdot 3 cdot frac{1}{2}}=sqrt{13} mathrm{см} )

Медианы ( mathrm{AK} ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

$( B O=frac{2}{3} B L=frac{2 sqrt{13}}{3} mathrm{cm} )

Ответ

( B O=frac{2 sqrt{13}}{3} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

   Рисунок 2

2. Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

   Рисунок 3

3. Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

   Рисунок 4

4. Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
   DE || AB и DE = AB / 2.
5. Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
   FG || AB и FG = AB / 2
6. Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).

7. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
   FX=XE, GX=XD

   Рисунок 5

8. Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
9. Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
10. Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Второе свойство

Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

   Рисунок 6

2. Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

   Рисунок 7

3. Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.

4. Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

   Рисунок 8

5. Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательство:

1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

   Рисунок 9

2. Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
3. Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
4. Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Скорее всего, Вам будет интересно:

• Свойства вписанной в треугольник окружности
• Средняя линия трапеции: чему равна, свойства, доказательство теоремы
• Свойства прямоугольной трапеции
• Третий признак равенства треугольников формулировка и доказательство
• Первый признак равенства треугольников: формулировка и доказательство (7 класс)
• Таблица прямых и обратных тригонометрических функций, онлайн калькулятор
• Состав служебного программного обеспечения
• Как найти область определения функции онлайн
• Закон Кулона: формулировка, определение, формула
• Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ), формулы МКТ

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника
с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую
   из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром
   тяжести треугольника.
3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих
   треугольников.

Биссектриса

Биссектриса
угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его
сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от
   сторон этого угла.
2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону
   на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
3. Точка пересечения биссектрис треугольника является

Высота

Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника
к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

1. В высота, проведенная
   из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника,
   исходному.
2. В две его
   высоты отсекают от него треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют
серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов
   этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная
   от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
   треугольника, является центром .

Средняя линия

Средней
линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.

Треугольник как основа стереометрии

Помимо этого, в 10 и 11 классах в учебную программу добавляется так называемая стереометрия. Данный раздел геометрии отвечает за различные предметы в трехмерном пространстве. Если в классической планиметрии основой для всего является точка, то в стереометрии на первый план выходит ребро. Именно с его помощью и происходит построение большинства геометрических объектов в стереометрии. Но есть 1 тема, которая объединяет 2 разные раздела геометрии — треугольник и все, что с ним связано. Большинство объектов в стереометрии состоят из множества небольших плоскостей с тремя или четырьмя углами, которые и являются основным объектом построения на ряду с ребром. Соответственно — для нахождения площади объемных шестиугольников, в первую очередь, необходимо знать все необходимые формулы и термины. Так, всего из одной вершины этой сложной геометрической фигуры можно прочертить сразу 4 различных прямых:

• Биссектрису;
• Перпендикуляр;
• Высоту;
• Медиану.

И если первая — просто делит угол пополам, а срединный перпендикуляр и высота зачастую являются одним понятием, медиана имеет множество своих индивидуальных и необычных признаков.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, то такой треугольник снова равнобедренный!
5. Если два угла треугольника равны, такой треугольник является равнобедренным.

Треугольник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен , называется произвольным (рис. 1).

• В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.
• В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.
• В случае, если у треугольника один и углов прямой (), он называется прямоугольным.
• Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через две стороны и угол:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через две стороны и угол между ними:

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

 Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

(5)

через сторону и площадь треугольника ()

(6)

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

1. По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

2. Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

   (по второму признаку подобия треугольников).

3. Так как △AMN ~ △ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

4. Так как △AMN ~ △ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.

   Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Теорема доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

   S = ½ × AC × BC

2. Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

   MN = ½ × AC

   Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

3. Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

   NP = ½ × BC

   Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

4. Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

   S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

• Δ ABC
• Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
• Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
• Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
• Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
• AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
• Δ ABH = Δ BCH
• Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Медиана в прямоугольном треугольнике — задание. Геометрия, 8 класс

Page 2

Теорема о трех медианах треугольника

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой \( \displaystyle E\).

Соединим точки \( \displaystyle N\) и \( \displaystyle K\). Что получилось?

Конечно, \( \displaystyle NK\) – средняя линяя \( \displaystyle \triangle ABC\). Ты помнишь, что это значит?

• \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle AC\);
• \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину \( \displaystyle AE\) – поставим точку \( \displaystyle F\), отметим середину \( \displaystyle EC\) — поставим точку \( \displaystyle G\).

Теперь \( \displaystyle FG\) – средняя линия \( \displaystyle \triangle AEC\). То есть:

• \( \displaystyle FG\) параллельна \( \displaystyle AC\);
• \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Заметил совпадения? И \( \displaystyle NK\) , и \( \displaystyle FG\) – параллельны \( \displaystyle AC\). И \( \displaystyle NK=\frac{AC}{2}\), и \( \displaystyle FG=\frac{AC}{2}\).

Что из этого следует?

• \( \displaystyle NK\) параллельна \( \displaystyle FG\);
• \( \displaystyle NK=FG\)

Посмотри теперь на четырехугольник \( \displaystyle NKGF\). У какого четырехугольника противоположные стороны (\( \displaystyle NK\) и \( \displaystyle FG\)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, \( \displaystyle NKGF\) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольников:

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Теорема о медиане и площади треугольника

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника. \( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана \( \displaystyle BM\) разделила \( \displaystyle \triangle ABC\) на два треугольника: \( \displaystyle \triangle ABM\) и \( \displaystyle \triangle BMC\).

Но! Высота-то у них одна и та же – \( \displaystyle BH\)!

Только в \( \displaystyle \triangle ABM\) эта высота \( \displaystyle BH\) опускается на сторону \( \displaystyle AM\), а в \( \displaystyle \triangle BMC\) – на продолжение стороны \( \displaystyle CM\).

Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу

\( S=\frac{1}{2}a~\cdot h\).

1) B \( \displaystyle \triangle ABM\):

2) B \( \displaystyle \triangle BMC\):

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small CH=HB. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по двум сторонам и углу между ними (): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small \angle 1=\angle2. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по стороне и прилежащим двум углам (): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHC \):

Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHB \):

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно \( \small \sin \angle C= \sin \angle B. \) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) \( \small \angle C= \angle B, \) 2) \( \small \angle C= 180° — \angle B. \) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: \( \small \angle C + \angle B< 180° \) второй вариант исключается. Т.е. \( \small \angle C= \angle B \) и по признаку 2 треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой, т.е. \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small CH=HB \) (Рис.6). На луче \( \small AH \) отложим отрезок \( \small HD \) так, чтобы \( \small AH=HD. \) Соединим точки \( \small C \) и \( \small D. \)

Треугольники \( \small AHB \) и \( \small DHC \) равны по двум сторонам и углу между ними (). Действительно: \( \small AH=HD, \) \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 4=\angle 5 \) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда \( \small AB=CD, \) \( \small \angle 6=\angle 2. \) Отсюда \( \small \angle 6=\angle 1. \) Получили, что треугольник \( \small CAD \) равнобедренный (признак 2). Тогда \( \small AC=CD. \) Но \( \small AB=CD \) и, следовательно \( \small AB=AC. \) Получили, что треугольник \( \small ABC \) равнобедренный.

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике

В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4×2 + y2 = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4×2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5×2 + 5y2 = 25  
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC2 + BC2  = AB2
Так как длина каждого из катетов нам «известна», мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4×2 + 4y2 = AB2 Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x2 + y2 ) = AB2  
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

Угол между высотой и медианой треугольникаОписание курса Медіана прямокутного трикутника   

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике

В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4×2 + y2 = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4×2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5×2 + 5y2 = 25  
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC2 + BC2  = AB2
Так как длина каждого из катетов нам «известна», мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4×2 + 4y2 = AB2 Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x2 + y2 ) = AB2  
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

Угол между высотой и медианой треугольникаОписание курса Медіана прямокутного трикутника   

Медианы треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. На Рис.1 АМ — медиана треугольника АВС (соединяет вершину А с серединой стороны ВС точкой М, т.е. ВМ = МС).

Любой треугольник имеет три медианы. На Рис.2, АМ, ВК, СD  — медианы треугольника АВС.

Медиана АМ соединяет вершину А с серединой стороны ВС — точкой М (ВМ = МС), медиана ВК соединяет вершину В с серединой стороны АС — точкой К (ВК = КС), медиана СD соединяет вершину С с серединой стороны АВ — точкой D (АD = DB).

Замечательное свойство медиан треугольника: в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке. На Рис.2 медианы АВС пересекаются в точке О. При этом, точка О делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т.е. АО : ОМ = ВО : ОК = СО : DO = 2 : 1.

Советуем посмотреть:

• Треугольник
• Равенство треугольников
• Первый признак равенства треугольников
• Перпендикуляр к прямой
• Биссектрисы треугольника
• Высоты треугольника
• Равнобедренный треугольник
• Свойства равнобедренного треугольника
• Второй признак равенства треугольников
• Третий признак равенства треугольников
• Окружность
• Построения циркулем и линейкой
• Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

1. 7 класс
2. Задание 114, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
3. Задание 119, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
4. Задание 158, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
5. Задание 336, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
6. Задание 342, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
7. Задание 440, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
8. Задание 727, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
9. Задание 947, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
10. Задание 1054, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
11. Задание 1281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

• budu5.com, 2020
• Пользовательское соглашение
• Copyright
• Нашли ошибку?
• Связаться с нами

Похожие записи:

Как выучить таблицу умножения Онлайн гадание на таро “позвонит ли он мне” Фитнес-мифы: нельзя есть два часа после тренировки 7 простых рецептов, как очистить электрочайник в домашних условиях Как крепится накладная мойка к тумбе кухни? Старый знакомый любисток снова в моде