Как найти стороны прямоугольного треугольника

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема Пифагора. Доказательство

Теорема 1 (Теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство (метод площадей). Пусть задан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.1). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)

Построим квадрат со стороной a+b из четырех таких прямоугольных треугольников (Рис.2). Тогда внутренний белый четырехугольник будет квадратом со стороной c.

Действительно. В прямоугольных треугольниках (Рис.2) \( \small \angle 1 +\angle 2=90° \) Следовательно, каждый угол квадрата со стороной c равен \( \small \angle 3=180&deg-(\angle 1 +\angle 2)=180°-90°=90°.\)

Далее, площадь квадрата со стороной a+b равна:

Площадь квадрата со стороной c равна:

Площадь каждого прямоугольного треугольника на рисунке 2 равна:

Площадь квадрата со стороной a+b равна сумме площади квадрата со стороной c и четырех площадей прямоугольных треугольников c катетами a и b:

Подставляя (1)-(3) в (4), получим:

Доказательство (через подобные треугольники). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.3). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \) Проведем высоту CH. Прямоугольные треугольники ACB и CHB подобны по двум углам: \( \small \angle ACB= \angle CHB=90°, \ \angle B -\)общий (см. стратью на странице Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников).

Тогда

или

Прямоугольные треугольники ACB и AHC подобны по двум углам: \( \small \angle ACB= \angle AHC=90°, \ \angle A -\)общий.

или

Сложив уравнения (5) и (6), получим

Доказательство (Евклид). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c (Рис.4). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)

Достаточно доказать, что площадь квадрата ABFD равна сумме площадей ACLK и BCGJ:

Площадь треугольника ACD по двум сторонам и углу между ними равен:

Учитывая, что \( \small \sin \angle ACH=\sin (90°-\alpha)=\sin \alpha, \) применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ACH:

или

Подставляя (8) в (7), получим:

Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC:

или

Подставляя (10) в (7), получим:

Учитывая, что \( \small AD=AB, \) получим:

Из (9) и (12), имеем:

Аналогично можно показать, что

Сложив (13) и (14), получим:

или

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

Решение.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

90º = 3 α.

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Ответ: гипотенуза равна 82.

Признаки равнобедренного треугольника

Признак 1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник является равнобедренным.

Признак 1 следует из определения 1.

Признак 2. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство признака 2 смотрите в статье Соотношения между сторонами и углами треугольника (Следствие 2. Признак равнобедренного треугольника).

Признак 3. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и медианой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small CH=HB. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по двум сторонам и углу между ними (): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)

Признак 4. Если в треугольнике высота проведенная к одной стороне совпадает с биссектрисой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство. Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является высотой и биссектрисой (Рис.4). Тогда \( \small \angle 3=\angle4=90°, \) \( \small \angle 1=\angle2. \) Треугольники \( \small AHC \) и \( \small AHB \) равны по стороне и прилежащим двум углам (): \( \small AH \) − общая сторона, \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small \angle 3=\angle4. \) Следовательно \( \small AB=AC. \)

Признак 5. Если в треугольнике биссектриса проведенная к одной стороне совпадает с медианой проведенной к этой же стороне, то треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 1). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой (Рис.5). Тогда

Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHC \):

Применим теорему синусов для треугольника \( \small AHB \):

тогда, из (5), (6), (7) получим:

Следовательно \( \small \sin \angle C= \sin \angle B. \) Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, то нам интересует синус углов от 0 до 180°. Учитывая это получим, что синусы углов равны в двух случаях: 1) \( \small \angle C= \angle B, \) 2) \( \small \angle C= 180° — \angle B. \) Поскольку сумма двух углов треугольника меньше 180°: \( \small \angle C + \angle B< 180° \) второй вариант исключается. Т.е. \( \small \angle C= \angle B \) и по признаку 2 треугольник является равнобедренным.

Доказательство (Вариант 2). Пусть в треугольнике \( \small ABC \) \( \small AH \) является биссектрисой и медианой, т.е. \( \small \angle 1=\angle 2, \) \( \small CH=HB \) (Рис.6). На луче \( \small AH \) отложим отрезок \( \small HD \) так, чтобы \( \small AH=HD. \) Соединим точки \( \small C \) и \( \small D. \)

Треугольники \( \small AHB \) и \( \small DHC \) равны по двум сторонам и углу между ними (). Действительно: \( \small AH=HD, \) \( \small CH=HB, \) \( \small \angle 4=\angle 5 \) (углы 4 и 5 вертикальные). Тогда \( \small AB=CD, \) \( \small \angle 6=\angle 2. \) Отсюда \( \small \angle 6=\angle 1. \) Получили, что треугольник \( \small CAD \) равнобедренный (признак 2). Тогда \( \small AC=CD. \) Но \( \small AB=CD \) и, следовательно \( \small AB=AC. \) Получили, что треугольник \( \small ABC \) равнобедренный.

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

1. Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
2. Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
3. Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

Трактовка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ2=АС2+ВС2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ2=92+122=81+144=225=152, значит АВ=15 см.

Определение

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Определение

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 162+122=202, 256+144=400, 400=400.

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит — a=a.

1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного): c^2=a^2+a^2,
2. Далее максимально упрощаем формулу: с^2=2*(a^2) — группируем, с=√2*а — подносим обе части уравнения к квадратному кореню, a=c/√2 — выносим искомое.
3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение: a=x/√2

Произвольный треугольник

Фигура с тремя углами является самым простым замкнутым объектом в геометрии. В общеобразовательных школах ее изучению уделяют наибольшее время, поскольку многие основные геометрические свойства заложены именно в ней. Построить ее несложно, для этого необходимо взять три точки на плоскости так, чтобы они не располагались на одной прямой. После этого следует попарно соединить их прямыми отрезками.

Треугольник произвольного типа состоит из следующих элементов:

• три вершины;
• три стороны, которые в общем случае имеют различную длину;
• одна вершина в совокупности с парой прилегающих к ней сторон образует угол, их в треугольнике три.

Для рассматриваемой фигуры всегда справедливы три важных математических соотношения между ее длинами сторон и углами. Эти соотношения часто используют для решения разнообразных задач. К ним относятся следующие:

1. О сумме углов. Треугольник характеризуется тремя углами, сумма которых всегда составляет 180 градусов или пи радиан. Это свойство следует из характеристики евклидовой геометрии на плоскости. Его записывают так: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °, где символом ∠ обозначен угол при соответствующей вершине.
2. Теорема синусов. Словесная ее формулировка следующая: отношение длины стороны треугольника к синусу лежащего напротив нее угла является величиной постоянной для данной фигуры. Математически это утверждение записывается так: a/sinA = b/sinB = c/sinC, где буквами a, b и c обозначены длины сторон треугольника. Это выражение удобно использовать, когда по условию задачи известна одна сторона и два угла, и необходимо найти оставшиеся элементы фигуры.
3. Косинусов теорема. Она звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся сторон за вычетом их удвоенного произведения, которое помножено на косинус угла между ними. Несмотря на несколько громоздкую формулировку, теорема имеет лаконичную математическую формулу: c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC. Это выражение удобно применять, когда известны две стороны и угол в треугольнике.

Площадь произвольного треугольника

Перейдем к более сложному случаю, когда необходимо подсчитать площадь произвольного треугольника, не являющегося прямоугольным. Предположим, надо найти площадь произвольного ∆АВС. Опустим из А на сторону ВС высоту АН:

В результате мы получили два прямоугольных треуг-ка, ∆АВН и ∆АCН. Мы уже знаем, как найти их площади:

Общая площадь всего ∆АВС равна сумме площадей ∆АВН и ∆АСН. Запишем ее и вынесем общий множитель АН/2 за скобки:

В скобках стоит сумма ВН + НС. Но ведь эта сумма равна длине стороны ВС! Тогда окончательно формулу можно записать в виде:

Получили, что для вычисления площади произвольного треугольника надо сначала умножить его высоту на сторону, на которую она падает, а далее поделить результат на 2. Однако для полного доказательства этого факта надо рассмотреть особый случай, когда высота в треуг-ке падает не на сторону, а на ее продолжение (такая ситуация возникает в тупоугольном треуг-ке):

На рисунке снова получились всё те же прямоугольные треуг-ки ∆АСН и ∆АВН. Запишем формулы их площади:

Отличие в том, что на этот раз площадь АВС можно вычислить не как сумму, а как разницу этих площадей:

Итак, можно сформулировать следующее правило:

Примечание. Часто сторону, на которую опущена высота, называют основанием треуг-ка.

Задание. Вычислите площадь ∆АВС, если сторона АВ имеет длину 7, а высота СН равна 4.

Решение. В данной задаче на сторону длиной 7 падает высота длиной 4. Надо просто подставить эти числа в формулу:

Задание. Докажите, что медиана треуг-ка разбивает его на два равновеликих треуг-ка.

Решение.

Пусть в ∆АВС проведена медиана СМ. Требуется доказать, что

Важно заметить, что СН будет являться высотой не только для ∆АВС, но также и для ∆СВМ и ∆САМ. Обозначим СН как h, а АВ как а

Тогда мы можем найти длины отрезков ВМ и АМ, ведь медиана делит сторону АВ пополам:

Получили одно и то же значение, то есть площади треуг-ков равны.

В рассмотренной задаче мы использовали тот факт, что у нескольких треуг-ков может быть общая высота. Общая высота используется и в многих других геометрических задачах.

Задание. Предложите способ, как разделить треуг-к, показанный на рисунке, на три равновеликих треуг-ка:

Чтобы треуг-ки были равновелики, достаточно, чтобы у них была общая высота, а основания, на которые эта высота падает, были бы равны друг другу. Поэтому можно просто поделить нижнюю сторону на три одинаковых отрезка (длиной по 7 клеток) и соединить концы полученных отрезков с противоположной вершиной:

Красной линией здесь показаны границы треуг-ков, а штриховой – их общая высота СН. Вычислить площадь каждого из треуг-ков можно по следующим формулам:

Но отрезки BD, DE и EA одинаковы (по 7 клеточек), поэтому одинаковы будут и площади:

Заметим, что необязательно делить на три одинаковых отрезка именно нижнюю сторону. Допустимы и два других варианта решения:

Но и это не единственные решения задачи. Попробуйте самостоятельно предложить ещё несколько вариантов.

Формула площади треуг-ка показывает, что между длинами высот и сторон есть взаимосвязь.

Задание.В ∆РЕТ РЕ = 72, ЕТ = 45. Высота ТН имеет длину 40. Найдите высоту РМ.

Решение.

Зная ТН и РЕ, мы сможем найти площадь треуг-ка:

Теперь запишем эту формулу площади в ином виде, когда используется высота МР и сторона ЕТ

Величину S_РЕТ мы только что вычислили, а длина ЕТ известна из условия, поэтому можно подставить их в формулу:

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольных треугольника.

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольников:

• Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
• Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
• Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
• Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
• Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Решение.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у)2 + х2 = (√52)2

и

(у)2 + (2х)2 = (√73)2.

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

4у2 + х2 = 52

и

у2 + 4х2 = 73.

Из второго уравнения видно, что у2 = 73 — 4х2. Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 — 4х2) + х2 = 52.

После преобразования:

292 — 16 х2 + х2 = 52 или 15х2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у2 = 73 — 4(4)2 = 73 — 64 = 9.

у = 3.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника ?? = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

В условии задачи нам дано: ?? = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Площадь ромба

Многие четырехуг-ки, изученные нами ранее, являются частными случаями параллелограмма. Для прямоугольника и квадрата мы уже знаем формулы вычисления площади. Осталось разобраться с ромбом. Ясно, что его площадь можно найти также, как и у параллелограмма. Однако площадь ромба можно посчитать и зная только его диагонали.

Построим ромб и проведем в нем диагонали:

Нам уже известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, а точка их пересечения является серединой для каждой диагонали:

Получается, что диагонали разбивают ромб на 4 одинаковых прямоугольных треуг-ка. Высчитаем, к примеру, S_AOB:

В результате мы доказали следующее утверждение:

Задание. Одна диагональ ромба равна 3,2 дм, а другая составляет 14 см. Найдите его площадь.

Решение. Для начала надо перевести все длины в одинаковые единицы измерения. Заменим дециметры на сантиметры:

Задание. Одна диагональ ромба в три раза длиннее другой, а площадь фигуры составляет 150. Вычислите длину диагоналей ромба.

Решение. Обозначим меньшую диагональ как х, тогда вторая будет равна 3х. Выразим площадь через х:

Вторая диагональ ромба будет втрое длиннее, то есть ее длина равна 3•10 = 30

Ответ: 10 и 30 см.

Площадь прямоугольного треугольника

Пусть в прямоугольном треугольнике известны два его катета. Обозначим их буквами а и b. Как тогда вычислить площадь такого треуг-ка?

Прямоугольный треугольник можно достроить до прямоугольника:

Площадь получившегося прямоугольника равна произведению чисел а и b. С другой стороны, прямоугольник состоит из двух треуг-ков площадью S, поэтому его общая площадь составляет 2S. Тогда можно записать, что

Задание. Катеты прямоугольного треугольника имеют длины 3 и 4. Определите его площадь.

Решение. Просто подставляем в формулу вместе букв a и b числа 3 и 4:

Задание. Площадь прямоугольного треугольника равна 100, а один катет больше другого вдвое. Найдите оба катета.

Решение. Пусть меньший катет равен х, тогда больший катет будет равен 2х. Выразим площадь прямоугольного треугольника через х:

Естественно, нас интересует только положительный корень, а отрицательный можно отбросить:

x = 10

Меньший катет оказался равным 10, тогда больший катет, который вдвое больше, будет равен 20.

Ответ: 10; 20.

Задание. Найдите площадь фигуры, показанной на рисунке. Сторона каждой клеточки имеет длину, равную единице:

Решение. Эту фигуру можно разбить на квадрат со стороной 8 и два прямоугольных треуг-ка, то есть всего на три фигуры:

Подсчитаем площадь каждой из трех фигур по отдельности:

Чтобы найти площадь всей фигуры, достаточно просто сложить три полученных числа:

Задание. Вычислите площадь треуг-ка, изображенного на рисунке (площадь каждой отдельной клеточки составляет единицу):

Решение. Здесь проблема заключается в том, что треуг-к прямоугольным не является. Однако можно построить прямоуг-к, который будет состоять сразу из 4 треуг-ков:

Мы можем найти как площадь всего прямоугольника (обозначим ее как S), так и площади трех прямоугольных треуг-ков S₁, S₂ и S₃:

Свойства прямоугольного треугольника

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
• В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30, равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30.

Например, пусть угол А=30, а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30. Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30.

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
• Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Свойства геометрической фигуры

Перед тем, как найти гипотенузу треугольника, необходимо разобраться, какие особенности имеет данная фигура. Рассмотрим главные из них:

1. В прямоугольном треугольнике оба острых угла в сумме будут равны 90º.
2. Катет, лежащий против угла в 30º, будет равен ½ от величины гипотенузы.
3. Если катет равен ½ от значения гипотенузы, тогда второй угол будет иметь такую же величину – 30º.

Найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике можно несколькими способами. Самым простым решением является вычисление через катеты. Допустим, вам известны значения катетов сторон А и В. Тогда на выручку приходит теорема Пифагора, повествующая нам, что если поставить каждую величину катета в квадрат и просуммировать полученные данные, мы узнаем чему равна гипотенуза. Таким образом, нам необходимо просто извлечь значение квадратного корня:

Например, если катет А = 3 см, а катет В = 4 см, тогда вычисление будет иметь следующий вид:

Похожие записи:

Жидкая кожа для ремонта кожаных изделий Как бороться с выпадающей шерстью кошек в квартире 8 лучших средств для удаления двухстороннего скотча с машины Как быстро и навсегда отстирать свеклу с одежды Основные средства, чем чистить индукционные плиты Полезные заготовки: как заморозить свеклу